Paradoksal Matematika dan Kajiannya Dalam Lingkup Filsafat
Bukan sesuatu yang mengherankan jika matematika dikatakan sebuah paradoks. Atau sebaliknya didefinisikan sebagai inner-dimension (ruang lingkup dimensi) yang mencakup baik kebenaran secara utuh maupun kontradiksinya. Baik kebenaran secara koherensi, korespondensi, proporsional, performatif, proposisi atau bahkan yang bersifat paradigma. Atau mungkin sebaliknya tentang ketidakmampuannya mengequivalensikan suatu aksioma. Seperti yang diungkapkan Kurt Godel dalam teorema ketidak-lengkapan-nya (Godel's Incompleteness Theorem) bahwa disaat yang sama, aksioma berimplikasi logis pada kompleksitas dan menambah ruang lingkup. Yang berakibat pada ketidakmampuan memecahkan sesuatu seperti : kasus Twin Prime, Konjektur Goldbach, bahkan Hipotesis Riemann. Karena adanya beberapa aksioma yang saling berkontradiksi dan mempertanyakan satu sama lain.
Yang hendak saya angkat disini ialah sorotan saya terhadap matematika dari sudut pandang ilmu filsafat yang pada hakikatnya adalah suatu konsep dasar berpikir logis dan mengkritisi suatu masalah. Dua konsep dasar yang pada hakikatnya sama penggunaannya pada matematika. Bukan untuk membantah, namun hanya menambahkan beberapa algoritma pemikiran filosofis.
Matematika terlahir dari suatu pendefinisian abstraksi manusia terhadap sistem. Yang kemudian nantinya sistem itu sendiri diterminologikan sebagai numerik. Sebuah gagasan yang memang benar-benar bersifat filosofis dan abstrak. Didapatkan dari suatu pendefinisian dan pengaksiomaan yang mendalam. Sebenarnya salah juga saya mengatakan pengaksiomaan. Karena pada hakikatnya aksioma sudah terlahir dengan sendirinya sebagai konsekuensi logis dan ide dasar suatu ekspansi terhadap sistem lain.
Yang paling menggugah saya adalah tulisan Whitehead dan Russell dalam bukunya Principia Mathematica yang mengemukakan pembuktian dari 1+1 = 2.
Dari langkah awal mereka melakukan suatu pendefinisian terhadap istilah yang kemudian menelurkan terminologi. 1,2,3 dan seterusnya itu sendiri merupakan sebuah pendefinisan.
1 sebagai definisi awal dan 2 sebagai definisi suksesor 1. Atau :
Dengan definisi, 1 = {ø}, dan 2 = {ø,{ø}}, menambahkan satu ke semua nomor, memiliki artian membentuk kesatuan dari nomor tersebut dan set yang mengandung nomor itu sendiri.
Jadi, 1+1 = kesatuan (union) {ø} dan {{ø}}, i.e. {ø,{ø}} = 2.
secara equivalen, 0 = ø, dan secara umum n = {0,1,2,...,n-1}.
lalu n+1 = n union {n} = (0,1,2,...,n}.
jadi 1+1 = {0} union {1} = {0,1} = 2.
atau juga sejalan dengan aksioma Peano :
Bilangan natural terdiri dari satu set N bersama dengan "sucessor function" f() (fungsi aksen)
1. Kemudian ada anggota unik bilangan N tersebut , yaitu "1", yang merupakan fungsi bijeksi dari N-{1} ke N.
2. Jika, X, mengandung 1 dan bagaimanapun mengandung , n, dari N, maka ia juga mengandung f(n), kemudian X= N. (ini adalah "induksi")
Suatu langkah awal-wal pendefinisian bukan?
Dan seperti yang saya katakan tadi, beberapa diantaranya membentuk suatu non equivalensi yang kemudian dinamakan "Fallacies". Berbeda dengan kasus diatas tentang Twin Prime, Konjektur Goldbach dan Hipotesis Riemann yang lebih terfokus pada kontroversi di antara aksiomanya melainkan satu kasus ringan pada konsep dasar yang dipahami secara parsial. Atau diterjemahkan dalam ungkapan lain bukan karena kesalahan pada aksioma melainkan kesalahan pada struktur dan sistematikanya. Perhatikan contoh Fallacies berikut :
(Fallacy I)
Pernyataan 1 + 1 = 1
Yang hendak saya angkat disini ialah sorotan saya terhadap matematika dari sudut pandang ilmu filsafat yang pada hakikatnya adalah suatu konsep dasar berpikir logis dan mengkritisi suatu masalah. Dua konsep dasar yang pada hakikatnya sama penggunaannya pada matematika. Bukan untuk membantah, namun hanya menambahkan beberapa algoritma pemikiran filosofis.
Matematika terlahir dari suatu pendefinisian abstraksi manusia terhadap sistem. Yang kemudian nantinya sistem itu sendiri diterminologikan sebagai numerik. Sebuah gagasan yang memang benar-benar bersifat filosofis dan abstrak. Didapatkan dari suatu pendefinisian dan pengaksiomaan yang mendalam. Sebenarnya salah juga saya mengatakan pengaksiomaan. Karena pada hakikatnya aksioma sudah terlahir dengan sendirinya sebagai konsekuensi logis dan ide dasar suatu ekspansi terhadap sistem lain.
Yang paling menggugah saya adalah tulisan Whitehead dan Russell dalam bukunya Principia Mathematica yang mengemukakan pembuktian dari 1+1 = 2.
Dari langkah awal mereka melakukan suatu pendefinisian terhadap istilah yang kemudian menelurkan terminologi. 1,2,3 dan seterusnya itu sendiri merupakan sebuah pendefinisan.
1 sebagai definisi awal dan 2 sebagai definisi suksesor 1. Atau :
Dengan definisi, 1 = {ø}, dan 2 = {ø,{ø}}, menambahkan satu ke semua nomor, memiliki artian membentuk kesatuan dari nomor tersebut dan set yang mengandung nomor itu sendiri.
Jadi, 1+1 = kesatuan (union) {ø} dan {{ø}}, i.e. {ø,{ø}} = 2.
secara equivalen, 0 = ø, dan secara umum n = {0,1,2,...,n-1}.
lalu n+1 = n union {n} = (0,1,2,...,n}.
jadi 1+1 = {0} union {1} = {0,1} = 2.
atau juga sejalan dengan aksioma Peano :
Bilangan natural terdiri dari satu set N bersama dengan "sucessor function" f() (fungsi aksen)
1. Kemudian ada anggota unik bilangan N tersebut , yaitu "1", yang merupakan fungsi bijeksi dari N-{1} ke N.
2. Jika, X, mengandung 1 dan bagaimanapun mengandung , n, dari N, maka ia juga mengandung f(n), kemudian X= N. (ini adalah "induksi")
Suatu langkah awal-wal pendefinisian bukan?
Dan seperti yang saya katakan tadi, beberapa diantaranya membentuk suatu non equivalensi yang kemudian dinamakan "Fallacies". Berbeda dengan kasus diatas tentang Twin Prime, Konjektur Goldbach dan Hipotesis Riemann yang lebih terfokus pada kontroversi di antara aksiomanya melainkan satu kasus ringan pada konsep dasar yang dipahami secara parsial. Atau diterjemahkan dalam ungkapan lain bukan karena kesalahan pada aksioma melainkan kesalahan pada struktur dan sistematikanya. Perhatikan contoh Fallacies berikut :
(Fallacy I)
Pernyataan 1 + 1 = 1
a = 1
b = 1
a = b
a2 = b2
a2 - b2 = 0
(a-b)(a+b) = 0
(a-b)(a+b)/(a-b) = 0/(a-b)
1(a+b) = 0
(a+b) = 0
1 + 1 = 0
2 = 0
1 = 0
1 + 1 = 1
dikatakan Falacy karena tidak seharusnya saling menghilangkan 0
(Falacy II)
Pernyataan 2 = 1
a = b
a2 = ab
a2 - b2 = ab-b2
(a-b)(a+b) = b(a-b)
a+b = b
b+b = b
2b = b
2 = 1
Dikatakan Falacy juga karena tidak seharusnya mencoret 0 di kedua ruas
(Falacy III)
Pernyataan 2 = 1
-2 = -2
4 - 6 = 1 - 3
4 - 6 + 9/4 = 1 - 3 + 9/4
(2 - 3/2)2 = (1 - 3/2)2
2 - 3/2 = 1 - 3/2
2 = 1
Dikatakan Falacy karena tidak memenuhi prinsip kuadrat walau terlihat identik benar
Begitulah matematika dan paradoksalnya. Kompleksitas dan kekurangannya. Definisi dan aksiomanya. Serta misteri yang masih belum terpecahkannya dengan" kontadiksinya".
0 Response to "Paradoksal Matematika dan Kajiannya Dalam Lingkup Filsafat"